由于近期高等代数课程正在讲向量空间，所以想着结合一下高中对于向量空间的学习整理一下一些知识点和笔记。

参考书籍：《高等代数（第五版）》（北京大学数学系前代数小组 编，高等教育出版社）（以下简称北大版），《高等代数（第五版）》（张禾瑞、郝鈵新 编，高等教育出版社）（以下简称北师大版）

向量空间的定义

设$V$是一个非空集合，$F$为一个数域.在集合$V$的元素之间定义一代数运算，称为加法，即给出一个法则，对于$V$中任意两个元素$\pmb{\alpha}$与$\pmb{\beta}$，在$V$中都有唯一的一个元素$\pmb{\gamma}$，称为$\pmb{\alpha}$与$\pmb{\beta}$的和，记为$\pmb{\gamma}=\pmb{\alpha}+\pmb{\beta}$，在数域$F$与集合$V$的元素之间还定义了一种运算，称为数量乘法，即对于数域$F$中任一数$k$与$V$中任意元素$\pmb{\alpha}$，在$V$中都有唯一的一个元素$\pmb{\delta}$与它们对应，称为$k$与$\pmb{\alpha}$的数量乘积（简称数乘），记为$\pmb{\delta}=k\pmb{\alpha}$.若加法与数乘满足下述规则，那么$V$称为数域$P$上的向量空间（或称线性空间）（向量空间或集合$V$中的元素用小写黑体希腊字母表示，数域中元素用小写拉丁字母表示）：

向量空间的一些简单的性质

1.零元素是唯一的.

2.负元素是唯一的.

3.$0\pmb{\alpha}=\pmb{0},k\pmb{0}=\pmb{0},(-1)\pmb{\alpha}=-\pmb{\alpha}$

4.若$k\pmb{\alpha}=\pmb{0}$，则有$k=0$或$\pmb{\alpha}=\pmb{0}$

子空间

子空间的定义：令$W$是数域$F$上向量空间$V$的一个非空子集.若$W$对于$V$的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称$W$是$V$的一个子空间.

定理1：数域$F$上向量空间$V$的一个非空子集$W$是$V$的一个子空间，当且仅当对于任意$a,b\in F,\pmb{\alpha}$及任意$\pmb{\beta}\in W$，都有$a\pmb{\alpha}+b\pmb{\beta}\in W$

子空间的和与直和

子空间和的定义：设$W_1,W_2$为向量空间$V$的两个子空间.那么$W_1,W_2$的和是指由所有能表示为$\pmb{\alpha_1}+\pmb{\alpha_2}$，而$\pmb{\alpha_1}\in V_1,\pmb{\alpha_2}\in V_2$的向量组成的子集合，记作$V_1+V_2$.

在子空间的和中，有一种特殊的情形，被称为直和(direct sum)，定义如下：

直和的定义：设设$W_1,W_2$为向量空间$V$的两个子空间，若和$W_1+W_2$中每个向量$\pmb{\alpha}$的分解式$\pmb{\alpha}=\pmb{\alpha_1}+\pmb{\alpha_2}\ (\pmb{\alpha_1}\in V_1,\pmb{\alpha_2}\in V_2)$是唯一的，则称这个和为直和，记为$V_1\oplus V_2$.

余子空间的定义：设$W$为向量空间$V$的一个子空间，若对于$V$的一个子空间$W’$，满足$W\oplus W’=V$，则称$W’$是$W$的一个余子空间.

由定义我们可以知道：

（1）和$V_1+V_2$是直和的充分必要条件为等式$\pmb{\alpha_1}+\pmb{\alpha_2}=\pmb{0}$(其中$\pmb{\alpha_1}\in V_1,\pmb{\alpha_2}\in V_2)$只有在$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2}$全为零向量时才成立；

（2）和$V_1+V_2$是直和的充分必要条件为$V_1\cap V_2=\{\pmb{0}\}$；

向量的线性相关性、向量组的等价及向量组的极大线性无关组

线性组合的定义：设$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$是向量空间$V$的$r$个向量，$a_1,a_2,\cdots,a_r$是数域$F$中任意$r$个数.我们将和$\pmb{\alpha}=a_1\pmb{\alpha_1}+a_2\pmb{\alpha_2}+\cdots+a_r\pmb{\alpha_r}$称为向量$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$的一个线性组合，而称向量$\pmb{\alpha}$被$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性表示.

线性相关的定义：设$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$是向量空间$V$的$r$个向量，若存在$F$中不全为零的数$a_1,a_2,\cdots,a_r$，使得：$a_1\pmb{\alpha_1}+a_2\pmb{\alpha_2}+\cdots+a_r\pmb{\alpha_r}=\pmb{0}$，则称$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性相关.

若向量组不线性相关，则称它们线性无关.

向量组等价的定义：设$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$和$\{\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$是向量空间$V$的两个向量组. 若每一$\pmb{\alpha_i}$都可以由$\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}$线性表示，而每一$\pmb{\beta_j}$也可以由$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性表示，那么就说这两个向量组等价.

极大线性无关组的定义：对于向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$的一个部分向量组$\{\pmb{\alpha_{i_1}},\pmb{\alpha_{i_2}},\cdots,\pmb{\alpha_{i_r}}\}$，若$\pmb{\alpha_{i_1}},\pmb{\alpha_{i_2}},\cdots,\pmb{\alpha_{i_r}}$线性无关且对于每一$\pmb{\alpha_j}\ (j=1\cdots,n)$都可以由$\pmb{\alpha_{i_1}},\pmb{\alpha_{i_2}},\cdots,\pmb{\alpha_{i_r}}$线性表示，则称部分向量组$\{\pmb{\alpha_{i_1}},\pmb{\alpha_{i_2}},\cdots,\pmb{\alpha_{i_r}}\}$为$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$的一个极大线性无关部分组（简称极大线性无关组）.

实际上，在解析几何中，我们已经接触过线性相关与线性无关的概念，在高等代数中，将“向量”这一概念泛化之后，我们可以知道：在向量空间$F\left[x\right]$（数域$F$中一元多项式环）中，对于任意非负整数$n$，有$1,x,x^2,\cdots,x^n$线性无关.

下面是几个有用的定理：

定理2：若向量$\pmb{\gamma}$可以由$\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_r}$线性表示，而每一$\pmb{\beta_i}$又可以由$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性表示，那么$\pmb{\gamma}$可以被$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性表示.

定理3：若向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$线性无关，而向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r},\pmb{\beta}\}$线性相关，则$\pmb{\beta}$可以由$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$线性表示.

定理4：向量$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}(r\ge2)$线性相关，当且仅当其中某一个向量是其余向量的线性组合.

定理5（替换定理）：设向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$线性无关，并且每一$\pmb{\alpha_i}$都可以由向量组$\{\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$线性表示.那么$r\le s$，且必要时可以对$\{\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$中向量重新编号，使得用$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}$替换$\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_r}$后，所得的向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r},\pmb{\beta_{r+1}},\pmb{\beta_{r+2}},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$与$\{\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$等价.

替换定理推论1：两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.

替换定理推论2：等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量，特别的，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.

下面是一个求$F^n$中列向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$的一个极大线性无关组的方法：

（1）首先将列向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$拼接为一个矩阵$\pmb{A}=\left(\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\right)$，

（2）将其化为行最简形式，并得出矩阵$\pmb{A}$的秩$r(\pmb{A})$，

（3）从中挑选非零数最少的$r(\pmb{A})$个列向量（一般只有一个元素是$1$而其余是$0$），这些变换后的列向量对应的原向量组成的向量组即为向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\}$的一个极大线性无关组.

举个例子：

已知向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\pmb{\alpha_3},\pmb{\alpha_4},\pmb{\alpha_5}\}$，其中$\pmb{\alpha_1}=(1,1,2,3)^T,\pmb{\alpha_2}=(-1,-1,1,1)^T,\pmb{\alpha_3}=(1,3,3,5)^T,\pmb{\alpha_4}=(4,-2,5,6)^T, \pmb{\alpha_5}=(-3,-1,-5,-7)$，求这个向量组的一个极大线性无关组.

基和维数

生成元和生成子空间的定义：设$V$为数域$F$上一个向量空间，$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\in V$，由$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$的一切线性组合所成的集合显然是$V$的一个子空间，称这个子空间为由$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$所生成的子空间，并用符号$\mathscr{L}(\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n})$表示.向量$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$叫做这个子空间的一组生成元.

基的定义：设$V$是数域$F$上一个向量空间.对于$V$中一向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$，若$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$线性无关且$V$中的每一向量都可以被$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$线性表示，则称向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$为$V$的一个基.

根据定义，我们很容易可以知道向量空间$V$的一个基就是$V$的一组线性无关的生成元.

而对数域$F^n$中的$n$个向量：$\pmb{\varepsilon_i}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$，这里$\pmb{\varepsilon_i}$除第$i$为$1$外，其余位置元素均为零，显然向量组$\{\pmb{\varepsilon_1},\pmb{\varepsilon_2},\cdots,\pmb{\varepsilon_n}\}$是$F^n$的一个基，这个基称为$F^n$的标准基（或称标准正交基）.

维的定义：一个向量空间$V$的基所含向量个数称为$V$的维数，记作$\dim V$，特别的，我们定义零空间的维数为$0$.

几个常见向量空间的维数：

（1）$F^n$的维数为$n$；

（2）$F$上一切$m×n$的矩阵所成的向量空间的维数为$mn$；

（3）$F[x]$是无限维的.

下面是关于基和维数的几个定理：

定理6：设$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$是向量空间$V$的一个基.那么$V$中的每一个向量可以唯一地被表成基向量$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_n}$的线性组合.

定理7：$n$维向量空间中任意多于$n$个向量一定线性相关.

定理8：设$\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}\in V$为$n$维向量空间$V$中一组线性无关向量.那么总可以添加$n-r$个向量$\pmb{\alpha_{r+1}},\cdots,\pmb{\alpha_n}$使得$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r},\pmb{\alpha_{r+1}},\cdots,\pmb{\alpha_n}\}$作成$V$的一组基.特别的，$n$维向量空间中任意$n$个线性无关的向量都可以取作基.

定理9（维数定理）：设$W_1$和$W_2$都是数域$F$上向量空间$V$的有限维子空间.那么$W_1+W_2$也是有限维的，且

对于向量空间$V_1,V_2$，$V_1+V_2$的基即为$V_1,V_2$的生成元构成的向量组的一个极大线性无关组.

在对$n$维列向量组成的向量空间$W_1,W_2$使用维数定理时，我们常常需要求$W_1+W_2$与$W_1\cap W_2$，下面是求它们的方法：

设$W_1=\mathscr{L}(\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r}),W_2=\mathscr{L}(\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s})$

（1）将$W_1,W_2$的生成元拼接为矩阵

（2）求出向量组$\{\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r},\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s}\}$的一个极大线性无关组，设为$\{\pmb{\gamma_1},\pmb{\gamma_2},\cdots,\pmb{\gamma_t}\}$，则$W_1+W_2=\mathscr{L}(\pmb{\gamma_1},\pmb{\gamma_2},\cdots,\pmb{\gamma_t})$，且$\dim (W_1+W_2)=t$

（3）求出矩阵$(\pmb{\alpha_1},\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{\alpha_r},\pmb{\beta_1},\pmb{\beta_2},\cdots,\pmb{\beta_s})$所表示的齐次线性方程组的基础解系$\{\pmb{\delta_1},\pmb{\delta_2},\cdots,\pmb{\delta_u}\}$，那么我们可以得到$W_1\cap W_2=\mathscr{L}(\pmb{\delta_1},\pmb{\delta_2},\cdots,\pmb{\delta_u})$，且有$\dim (W_1\cap W_2)=u$.

（基础解系相关定义将会在后面给出）

显然有$t=r(\pmb{A}),\dim W_1=r,\dim W_1=s$，而由基础解系的概念，显然有$u=(r+s)-t$，所以可以得到$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$.